Mình xin trình bày lời giải bài này như sau:

Ta kí hiệu các điểm như hình vẽ:

Đặt \(FK=r\) chính là bán kính cần tìm. Khi đó ta nhận thấy rằng : \(FK>MK\) hay \(r>3x\)

Ta có: \(JL=IK=2x\implies FI = r-2x\)
\(\implies IJ^2 = r^2-FI^2=r^2-(r-2x)^2 = 4rx-4x^2\) (Theo định lý Pytago trong \(\triangle{FJI}\) vuông tại \(K\))

\(\implies IJ=\sqrt{4rx-4x^2}\)

Lại có \(AJ=2x\) nên \(HM=AI=AJ+IJ = 2x+\sqrt{4rx-4x^2}\)

Ta lại có: \(FM=r-3x\)

Nên áp dụng định lý Pytago cho tam giác \(FHM\) vuông tại \(M\) ta có: \((r-3x)^2+(2x+\sqrt{4rx-4x^2})^2=(r+x)^2\)

\(\iff 8x^2-4rx+4x\sqrt{4rx-4x^2}=0\iff 4x(2x-r+\sqrt{4rx-4x^2})=0\iff 2x-r+\sqrt{4rx-4x^2}=0\) (Vì \(x>0\))

\(\iff \sqrt{4rx-4x^2}=r-2x\iff 4rx-4x^2=r^2-4rx+4x^2\iff r^2-8rx+8x^2=0(1)\)

Chia cả hai vế của \((1)\) cho \(x^2\) ta được: \((\frac{r}{x})^2-8(\frac{r}{x})+8=0(2)\)

Đặt \(t=\frac{r}{x}(t>3)\). Khi đó từ \((2)\), ta suy ra được: \(t^2-8t+8=0\iff t=4+2\sqrt{2}\) hoặc \(t=4-2\sqrt{2}\)

Vì \(t>3\) nên \(t=4+2\sqrt{2}\). Hay ta có: \(r=(4+2\sqrt{2})x\).

Đến đây ta chỉ cần thế số vào là xong.