Hướng dẫn cho Tính tổng 1
Chép code từ bài hướng dẫn để nộp bài là hành vi có thể dẫn đến khóa tài khoản.
Authors:
Chứng minh
Ta sẽ chứng minh tại sao: \(1^3 + 2^3 + 3^3 + ... + N^3 = (1 + 2 + 3 + .... + N)^3\)
(Kiến thức chứng minh này thì sẽ hơi "nặng" đối với các bạn học từ lớp 7 trở xuống vì nó dính tới hằng đẳng thức lớp 8).
Đặt \(T = 1^3 + 2^3 + 3^3 + .... + N^3,\) \(P = (1 + 2 + 3 + ... + K)^2\).
Với \(N = 1, N = 2\), thì hệ thức đúng, vì:
- \(N = 1 → T = 1^3 = 1; P = 1^2 = 1 → T = P\)
- \(N = 2 → T = 1^3 + 2^3 = 9; P = (1 + 2)^3 = 9 → T = P\)
Với \(N > 2\), thì ta đặt \(N = k\), ta chứng minh đẳng thức đúng với \(N = k\) và cũng đúng với \(N = k + 1\)
\(1^3 + 2^3 + 3^3 + .... + k^3 + (k+1)^3 = (1 + 2 + 3 + ... + k + k + 1)^2\) (*)
Mặt khác:
\(0.5T =1 + 2 + 3 + .... + k = 0.5 * (k * (k + 1))\) (dùng công thức tính tổng các số hạng đã học ở lớp \(6\))
\(→T = 0.25 * (k^2 + k)^2\)
Do đó (*)
\(→ (1 + 2 + 3 + ... + k)^2 + (k + 1)^3 = ([(k + 1) - 1] * (k + 1)/2)^2 = (0.25 * (k^2 + k)^2) + (k + 1)^3 = 0,25 * (k^2 + 3k + 2)^2\)
\(↔ (k^2 + 3k + 2)^2 - (k^2 + k)^2 = 4(k + 1)^3\)
Dùng hẳng đẳng thức số \(2\): \(a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)\) khai triển vế trái, ta có:
\(4k^3 + 12k^2 + 12k + 4 = 4(k + 1)^3\)
Đặt \(4\) làm nhân tử chung, nhận ra được hằng đẳng thức số \(4\):
\(→ 4*(k + 1)^3 = 4*(k+1)^3\) (Vế trái đã bằng vế phải)
Vậy từ đó ta suy ra được đẳng thức đúng với \(N = k + 1\)
\(→ 1^3 + 2^3 + 3^3 + ... + N^3 = (1 + 2 + 3 + .... + N)^2\) (điều phải chứng minh)
Cách giải
Qua phần bên trên, ta suy ra được cách làm ngay.
Đặt \(S = 1 + 2 + 3 + ... + N\) (cái này thì là bài cơ bản rồi)
→ Kết quả sẽ bằng \(S^2\)
CODE
Dễ rồi nên các bạn tự làm nha 😃
Cảm ơn các bạn đã theo dõi phần chứng minh của mình.
Mình xin nhận về bản thân bất kỳ sai sót nào. Từ đó mình sẽ chấn chỉnh bản thân về cách viết \(Editorial\).
Bình luận
cái dòng đầu chứng minh phải là : 1^3 + 2^3 + 3^3 + ... + N^3 = (1 + 2 + ... + N)^2 chứ ạ
Mình thấy editorial lạm dụng số quá nhiều khiến cho bài này phức tạp hơn rất nhiều, thay vào đó mình nghĩ bạn nên sữ dụng chữ giải thích ra thuật toán một cách rõ ràng dễ hiểu nhất. Đặc biệt đối với một số bài rất dễ nhưng dưới tay của các "Editorialer" thì cái hướng dẫn khó hơn rất nhiều, giống như bài này https://lqdoj.edu.vn/problem/num11/editorial, đứa học tiểu học cũng giải đc bài nhưng trong editorial lại sử dụng kiến thức cấp 2.
Còn bài này thì với người mới học lớp 6 như mình thì nhìn vào cái này thôi cũng khỏi muốn làm rồi, mình mong muốn bạn sẽ sửa đổi cách viết Editorial của mình
(có phải cách chứng minh quy nạp đọc trong sách của thầy Vũ Hữu Bình không :D)
Mình xin đóng góp một lời giải khác.
Ta tiếp cận bài toán bằng phương pháp "khử liên tiếp".
Khử liên tiếp là gì? Để tính tổng \(P = 1.2+2.3+3.4+ \dots + (n-1).n\), ta dùng một mẹo là nhân \(P\) lên 3, như vậy thì số hạng đứng sau sẽ khử được số hạng liền trước nó.
\(3P=1.2.3+2.3.3+3.4.3+4.5.3+...+(n-1)n.3\)
\(3P=1.2.3+2.3.(4-1)+3.4.(5-2)+4.5.(6-3)+...+(n-1)n[(n+1)-(n-2)]\)
\(3P=(n-1)n(n+1) \Rightarrow P=\frac{(n-1)n(n+1)}{3}\)
Quay lại bài toán gốc: Nhận thấy \((a-1)a(a+1) = a(a^2-1) = a^3 - a\).
Vậy cần tính:
\(A = 1.2.3 + 2.3.4 + 3.4.5 + ... + (n-1)n(n+1)\)
\(B = 1+2+3+4+...+n\)
\(A\) có thể tính được bằng cách nhân 4 lần, \(B\) đã quá quen thuộc với mọi người.
Đáp án là \(A+B\)