Trò chơi bắt chước
Xem PDF
Điểm:
400 (p)
Thời gian:
1.0s
Bộ nhớ:
256M
Input:
bàn phím
Output:
màn hình
Turing hiện đang làm việc để crack các máy bí ẩn. Nhưng ông thấy rằng có hai hàm toán học là \(f(n)\) và \(g(n)\) được sử dụng để mã hóa tin nhắn của người Đức. Ông muốn thử nghiệm khám phá của mình để bắt chước cách mã hóa của máy tính.
Các hàm được định nghĩa là:
- \(g (n + 1) = 4 \times g (n) + f (n + 1) + c\)
- \(f (n + 2) = 3 \times f (n + 1) + 2 * f (n)\)
Dữ liệu ban đầu:
- \(f (0) = 1;\)
- \(f (1) = 1;\)
- \(g (-1) = 1;\)
- \(g (0) = 1;\)
- \(c = 2;\)
Yêu cầu: Cho số nguyên \(n\), cần phải tìm giá trị \(g(n)\mod 10^9+7\).
Input
- Dòng đầu tiên ghi số lượng các trường hợp thử nghiệm \(T\),
- \(T\) dòng tiếp theo mỗi dòng ghi một giá trị của \(n\).
Output
- Với mỗi test \(T\), xuất ra giá trị của \(g(n)\).
Example
Test 1
Input
5
1
2
3
6
1000Output
7
35
159
12835
566998663
Bình luận
Mình xin chia sẻ lời giải bài này như sau:
Do \(c=2\) nên ta có:
Ta có: \(\left\{\begin{matrix}g(n+1)=4*g(n)+f(n+1)+2 \\ f(n+2)=3*f(n+1)+2*f(n)\end{matrix}\right.\)
Từ đây ta suy ra được: \(\begin{pmatrix}g(n)&f(n+1)&f(n)&1\end{pmatrix}.\begin{pmatrix}4&0&0&0 \\ 1&3&1&0 \\0&2&0&0 \\2&0&0&1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}g(n+1)&f(n+2)&f(n+1)&1\end{pmatrix}\)
Đặt \(p_n=\begin{pmatrix}g(n)&f(n+1)&f(n)&1\end{pmatrix}\) và \(M=\begin{pmatrix}4&0&0&0 \\ 1&3&1&0 \\0&2&0&0 \\2&0&0&1\end{pmatrix}\).
Ta được: \(p_{n}=p_{n-1}.M=p_{n-2}.M^2=...=p_0.M^{n}\), với \(p_0=\begin{pmatrix}1&1&1&1\end{pmatrix}\)
Đến đây sử dụng luỹ thừa nhị phân trên ma trận và phép nhân ma trận, ta đã giải quyết xong bài toán, các bạn có thể tham khảo code tại đây
Ps: Nếu có gì thắc mắc, các bạn cứ comment.