BÀI F

Bài này là một bài rất hay và khéo léo do Thánh Ngốc biên soạn. Đầu tiên, biểu thức để tính số vỏ kẹo và cây kẹo mà Tuấn có sau khi mua \(a\) cây kẹo :

Nếu gọi \(x\) là số mũ 3 khi phân tích \(a!\) thành thừa số nguyên tố thì số kẹo và vỏ Tuấn còn lại là \(T – x\).

Làm sao để tính được khi phân thích thừa số nguyên tố thì \(a!\) chứa bao nhiêu thừa số 3? Ta có công thức sau :

Vậy là xong, công thức vi diệu đã xuất hiện, \(T – x = \frac{a}{3^0} = a\). Vậy ta chỉ cần chọn cách mua làm sao mà \(a\) là lớn nhất, chính là bằng số tiền của Tuấn chia cho giá tiền cây kẹo ít nhất.

Để chứng minh công thức số mũ giai thừa, các bạn có thể dùng bao hàm loại trừ (inclusive – exclusive) nhưng mình sẽ để dành nó cho bài G :D.

letangphuquy : Một cách hình dung đơn giản cho công thức : Theo công thức trên thì số \(n : 3^k \le n < 3^{k+1}\) sẽ được tính vào trong đúng \(k\) số hạng : \(\frac{a}{3^1}; \frac{a}{3^2}; \frac{a}{3^3}; ...; \frac{a}{3^k}\) (lưu ý rằng \(a / 3^i\) chính là số lượng số chia hết cho \(3^i\) trong đoạn \([1,a]\))