Tứ diện
Xem PDF
Điểm:
450 (p)
Thời gian:
1.0s
Bộ nhớ:
256M
Input:
bàn phím
Output:
màn hình
Cho một tứ diện, đánh dấu các đỉnh lần lượt là \(A, B, C, D\).
Một con kiến đang đứng trên đỉnh \(D\) của tứ diện. Con kiến khá tích cực di chuyển và nó không chịu nhàn rỗi. Với mỗi bước đi, nó bước từ một đỉnh tới đỉnh khác dọc theo một số cạnh của tứ diện. Con kiến không bao giờ chịu đứng yên ở một chỗ.
Yêu cầu: Đếm số cách mà con kiến có thể đi từ đỉnh \(D\) ban đầu rồi quay về chính nó trong đúng \(n\) bước. Nói cách khác, bạn sẽ được yêu cầu tìm ra số con đường tuần hoàn khác nhau có chiều dài \(n\) từ đỉnh \(D\) đến chính nó. Vì số có thể khá lớn nên bạn nên in theo \(modulo (10^9 + 7)\).
Input
- Dòng đầu tiên chứa số nguyên duy nhất \(n (1 \le n \le 10^7)\) - chiều dài của đường đi.
Output
- In số nguyên duy nhất là kết quả tìm được \(modulo (10^9+ 7)\).
Scoring
- Subtask \(1\) (\(25\%\) số điểm): \(n \le 10\)
- Subtask \(2\) (\(25\%\) số điểm): \(n \le 10^7\)
- Subtask \(3\) (\(50\%\) số điểm): \(n \le 10^{14}\)
Example
Test 1
Input
2Output
3
Bình luận
Mình Bonus bài này một chút nữa như sau:
Gọi \(Q(n) = \frac{3.(9^{n-1}-1)}{4}\) và \(G(n)=\frac{9^{n-1}-1}{4}\). Thì bằng quy nạp ta chứng minh được rằng:
\(M^n=\left\{\begin{matrix}M_1, \text{ với } n \text{ lẻ } \\ M_2, \text{ với } n \text{ chẵn } \end{matrix}\right.\)
Trong đó:
\(M_1=\begin{pmatrix} Q(k) & Q(k)+1 & Q(k)+1 & Q(k)+1\\Q(k)+1 & Q(k) & Q(k)+1 & Q(k)+1\\ Q(k)+1 & Q(k)+1 & Q(k) & Q(k)+1 \\ Q(k)+1 & Q(k)+1 & Q(k)+1 & Q(k) \end{pmatrix}\), với \(k=\frac{n+1}{2}\)
\(M_2=\begin{pmatrix} G(k)+1 & G(k) & G(k) & G(k)\\G(k) & G(k)+1 & G(k) & G(k)\\ G(k) & G(k) & G(k)+1 &G(k) \\ G(k) & G(k) & G(k) & G(k)+1 \end{pmatrix}\), với \(k=\frac{n+2}{2}\)
Do đó từ công thức: \(p_n=p_1*M^{n-1}\rightarrow (*)\)
Khi đó \((*)\implies p_n = p_1*M^{n-1} =\begin{pmatrix} 0&1&1&1\end{pmatrix}.\begin{pmatrix} Q(k) & Q(k)+1 & Q(k)+1 & Q(k)+1\\Q(k)+1 & Q(k) & Q(k)+1 & Q(k)+1\\ Q(k)+1 & Q(k)+1 & Q(k) & Q(k)+1 \\ Q(k)+1 & Q(k)+1 & Q(k)+1 & Q(k)\end{pmatrix}\)
Hay \(\begin{pmatrix}D[n]&A[n]&B[n]&C[n]\end{pmatrix} =\begin{pmatrix} 0&1&1&1\end{pmatrix}.\begin{pmatrix} Q(k) & Q(k)+1 & Q(k)+1 & Q(k)+1\\Q(k)+1 & Q(k) & Q(k)+1 & Q(k)+1\\ Q(k)+1 & Q(k)+1 & Q(k) & Q(k)+1 \\ Q(k)+1 & Q(k)+1 & Q(k)+1 & Q(k)\end{pmatrix}\)
\(=\begin{pmatrix}3.Q(k)+3&3.Q(k)+2&3.Q(k)+2&3.Q(k)+2\end{pmatrix}\)
Từ đây ta suy ra được \(D[n]=3*Q(k)+3\) với \(k=\frac{n}{2}\).
Và đến đây, sử dụng luỹ thừa nhị nhân, ta có thể giải quyết bài toán này trong \(O(log(n))\).
Và các bạn có thể tham khảo code tại đây: Link
3 bình luận nữa