Hướng dẫn cho Số lẻ loi 2
Chỉ sử dụng khi thực sự cần thiết như một cách tôn trọng tác giả và người viết hướng dẫn này.
Chép code từ bài hướng dẫn để nộp bài là hành vi có thể dẫn đến khóa tài khoản.
Chép code từ bài hướng dẫn để nộp bài là hành vi có thể dẫn đến khóa tài khoản.
Authors:
\(\color{red}{\text{Spoiler Alert}_{{}_{{}^{{}^{v2.0}}}}}\)
\(\color{red}{\text{Khuyến khích bạn đọc trước khi đọc phần lời giải xin hãy thử code ra thuật của mình dù nó có sai hay đúng}}\)
\(\color{red}{\text{Sau đó từ phần bài giải và thuật toán trước đó mà đối chiếu, rút nhận xét với thuật của mình và thu được bài học (không lãng phí thời gian đâu).}}\)
\(\color{orange}{\text{Hint 1}}\)
- Xét các trường hợp \(n = 2 \times k\), \(n = 4 \times k + 3\), \(n = 4 \times k + 1\)
\(\color{orange}{\text{Hint <Implementation>}}\)
- Nếu cần tìm số số có độ dài chẵn:
Ta sẽ in xen kẽ chẵn lẻ
Khi đảo ngược ta được một số xen kẽ lẻ chẵn
Các chữ số đều là lẻ khi tổng chẵn lẻ không quá 9
Ví dụ: \(1212 + 2121 = 3333\) (\(|1|2|1|2| + |2|1|2|1| = |3|3|3|3|\))
- Nếu cần tìm số có độ dài \(n = 4 \times k + 3\)
Ta đan xen (chẵn và 0) ở phần đầu và (0 và lẻ) ở phần sau
Khi đảo ngược lại ta được số đan xen (lẻ và 0) ở phần đầu và (0 và chẵn) ở phần sau
Các chữ số đều là số lẻ khi tổng chúng là số có 2 chữ số và lẻ
Ví dụ \(2020909 + 9090202 = 111111\) (\(|02|02|09|09| + |09|09|02|02| = |11|11|11|11\))
- Nếu cần tìm số có độ dài \(n = 4 \times k + 1\)
Bạn đọc tự chứng minh rằng không tồn tại cách sắp xếp số thỏa đề
\(\color{green}{\text{Preference AC Code }}\): Implementation
\(^{^{\color{purple}{\text{Complexity : }} O(1)\ \color{purple}{\text{time}}\ ||\ O(1)\ \color{purple}{\text{memory}}}}\)
C++
int main()
{
int n = readInt();
if (n % 2 == 0) {
for (int i = 0; i < n; ++i) cout << (i % 2 == 1 ? 2 : 1);
return 0;
}
if (n % 4 == 3) {
for (int i = 0; i < n / 4; ++i) cout << "20";
cout << "209";
for (int i = 0; i < n / 4; ++i) cout << "09";
return 0;
}
cout << -1;
return 0;
}
\(\color{green}{\text{Preference AC Code }}\): Bitwise, Implementation
\(^{^{\color{purple}{\text{Complexity : }} O(1)\ \color{purple}{\text{time}}\ ||\ O(1)\ \color{purple}{\text{memory}}}}\)
C++
int main()
{
int n = readInt();
if ((n & 1) == 0) {
for (int i = 0; i < n; ++i) cout << (i & 1) + 1;
return 0;
}
if ((n & 3) == 3) {
n >>= 2;
for (int i = 0; i < n; ++i) cout << "20";
cout << "209";
for (int i = 0; i < n; ++i) cout << "09";
return 0;
}
cout << -1;
return 0;
}
Bình luận
Chứng minh chi tiết cho TH \(n = 4k + 1\) (dựa trên ý tưởng của jumptozero):
Một ý tưởng tự nhiên là thử chứng minh cho \(n = 5\). Điều này có thể được thực hiện như sau:
Giả sử tồn tại một số lẻ loi \(A = \overline{a_1a_2a_3a_4a_5}\). Khi đó \(a_1 + a_5\) phải là số lẻ (vì chữ số tận cùng là lẻ).
TH 1: \(a_1 + a_5 < 10\). Lúc này \(a_2 + a_4\) phải là số lẻ.
Nếu \(a_2 + a_4 < 10\) thì \(a_3 + a_3\) phải là số lẻ (vô lý, *).
Nếu \(a_2 + a_4 \geq 10\) thì phép tính ở chữ số ngoài cùng bên trái sẽ có nhớ, tức là chữ số thứ 5 từ phải sang sẽ là \((a_1 + a_5 + 1) % 10\). Nhưng số này lại là số chẵn do \(a_1 + a_5\) lẻ (mâu thuẫn).
TH 2: \(a_1 + a_5 \geq 10\). Lúc này \(a_2 + a_4\) phải chẵn (do chữ số thứ 2 từ phải sang).
Nếu \(a_2 + a_4 < 10\) thì \(a_3 + a_3\) phải là số lẻ (vô lý, *).
Nếu \(a_2 + a_4 \geq 10\) thì phép tính ở chữ số ngoài cùng bên trái sẽ có nhớ, tức là chữ số thứ 5 từ phải sang sẽ là \((a_1 + a_5 + 1) % 10\). Nhưng số này lại là số chẵn do \(a_1 + a_5\) lẻ (mâu thuẫn).
Tổng quát: Để ý rằng 2 TH trên hoàn toàn tương tự, chúng ta có thể gộp lại thành một. Đồng thời với một số độ dài \(n\) bất kỳ, chúng ta chỉ cần quan tâm \(a_1, a_2, a_{n - 1}, a_n\). Hoàn toàn tương tự, \(a_2 + a_{n - 1} < 10\), tức là bài toán bây giờ quy về một số bên trong có \(n - 4\) chữ số. Ý tưởng tự nhiên nhất là quy nạp (phần * ở trên chính là quy nạp từ \(5\) về \(1\)).
Lời giải anh ngắn hẳn so với em :v