GEO 02

Xem PDF
Tất cả bài nộp
Các bài nộp tốt nhất
Xem hướng dẫn
Tác giả:
PhanDinhKhoi
Dạng bài
Điểm: 200 (p) Thời gian: 1.0s Bộ nhớ: 256M Input: bàn phím Output: màn hình

Given \(x, y\). Find black area

Input

  • x y

Output

  • S

Bình luận


  • 9
    jumptozero    6:56 a.m. 3 Tháng 4, 2021 ← chỉnh sửa 7

    Mình xin trình bày lời giải bài này như sau:

    Đặt \(\widehat{BAC}=\alpha\) và \(AB=r\)

    Khi đó ta có: \(tan(\alpha)=\frac{x}{r}(1)\) và \(\widehat{DAF}=\pi - 2\alpha\)

    \(\implies tan(\widehat{DAF})=tan(\pi - 2\alpha)=\frac{FD}{AD}\implies FD=AD*tan(\pi - 2\alpha)=r*tan(\pi - 2\alpha)\)

    \(\implies FC=FD+DC= x + r*tan(\pi - 2\alpha)\) (Do \(CB,CD\) lần lượt là tiếp tuyến của đường tròn \((A,r)\) nên \(CB=CD=x\))

    Hay \(y=x+r*tan(\pi - 2\alpha)=x-r*tan(2\alpha)(2)\) (Do \(tan(\pi - 2\alpha)=-tan(2\alpha)\) và \(FC=y\))

    Từ \((1)\) và \((2)\), ta có:

    \(\left\{\begin{matrix} x=r*tan(\alpha) \\ y=x-r*tan(2\alpha) \end{matrix}\right.\)

    \(\iff \left\{\begin{matrix} tan(\alpha)=\frac{x}{r} \\ tan(2\alpha)=\frac{x-y}{r} \end{matrix}\right.\)

    Mặt khác ta lại có: \(tan(2\alpha)=\frac{2tan(\alpha)}{1-tan(\alpha)^2}\)

    Nên từ đây ta suy ra được: \(\frac{x-y}{r}=\frac{\frac{2x}{r}}{1-\frac{x^2}{r^2}}\iff \frac{x-y}{r}=\frac{2xr}{r^2-x^2}\iff (x-y)(r^2-x^2)=2xr^2\)

    \(\iff (x-y)r^2-(x-y)x^2=2x*r^2\iff (y-x)x^2=r^2(x+y)\iff r^2=\frac{(y-x)x^2}{x+y}\iff r=x\sqrt{\frac{y-x}{x+y}}\)

    Suy khi tìm được \(r\), ta dễ dàng tìm được \(\alpha = arctan(\frac{x}{r})\)

    Tiếp theo ta sẽ đi tính diện tích cung tròn \(AED\)

    Ta có: \(\widehat{EAD}=\pi-2\alpha\). Do đó: \(S_{\text{cung}(AED)}= \frac{r^2(\pi-2\alpha)}{2}\)

    Vậy \(S_{\text{cần tìm}}=S_{FBC}-2S_{ABC}-S_{\text{cung}(AED)}=\frac{1}{2}\sqrt{y^2-x^2}*x - 2*\frac{1}{2}*r*x-\frac{r^2(\pi-2\alpha)}{2}\)

    \(=\frac{1}{2}\sqrt{y^2-x^2}*x - r*x-\frac{r^2(\pi-2\alpha)}{2}\)

    Và công việc còn lại chỉ là thế số.

    Như vậy là bài toán đã được giải quyết xong.


    • 10
      NguyenHuuNhatQuang    7:19 p.m. 4 Tháng 4, 2021

      Thực ra có một cách tìm r rất dễ.

      Ta có \(CD = CB = x\)

      ==> \(FD = y - x\)

      Lại có \(FB^2 = y^2 - x^2\) ==> từ đó tính được \(FB\)

      Theo phương tích trong đường tròn: \(FD^2 = FB . FE\)

      Ta đã tính được \(FD\) và \(FB\) thì có thể tính được \(FE\)

      Và \(r = BE/2 = (FB - FE)/2\)