Hướng dẫn cho Tính tổng 1

Chỉ sử dụng khi thực sự cần thiết như một cách tôn trọng tác giả và người viết hướng dẫn này.

Chép code từ bài hướng dẫn để nộp bài là hành vi có thể dẫn đến khóa tài khoản.

Authors: dang7rickroll

Chứng minh

Ta sẽ chứng minh tại sao: \(1^3 + 2^3 + 3^3 + ... + N^3 = (1 + 2 + 3 + .... + N)^3\)

(Kiến thức chứng minh này thì sẽ hơi "nặng" đối với các bạn học từ lớp 7 trở xuống vì nó dính tới hằng đẳng thức lớp 8).

Đặt \(T = 1^3 + 2^3 + 3^3 + .... + N^3,\) \(P = (1 + 2 + 3 + ... + K)^2\).

Với \(N = 1, N = 2\), thì hệ thức đúng, vì:

  • \(N = 1 → T = 1^3 = 1; P = 1^2 = 1 → T = P\)
  • \(N = 2 → T = 1^3 + 2^3 = 9; P = (1 + 2)^3 = 9 → T = P\)

Với \(N > 2\), thì ta đặt \(N = k\), ta chứng minh đẳng thức đúng với \(N = k\) và cũng đúng với \(N = k + 1\)

\(1^3 + 2^3 + 3^3 + .... + k^3 + (k+1)^3 = (1 + 2 + 3 + ... + k + k + 1)^2\) (*)

Mặt khác:

\(0.5T =1 + 2 + 3 + .... + k = 0.5 * (k * (k + 1))\) (dùng công thức tính tổng các số hạng đã học ở lớp \(6\))

\(→T = 0.25 * (k^2 + k)^2\)

Do đó (*)

\(→ (1 + 2 + 3 + ... + k)^2 + (k + 1)^3 = ([(k + 1) - 1] * (k + 1)/2)^2 = (0.25 * (k^2 + k)^2) + (k + 1)^3 = 0,25 * (k^2 + 3k + 2)^2\)

\(↔ (k^2 + 3k + 2)^2 - (k^2 + k)^2 = 4(k + 1)^3\)

Dùng hẳng đẳng thức số \(2\): \(a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)\) khai triển vế trái, ta có:

\(4k^3 + 12k^2 + 12k + 4 = 4(k + 1)^3\)

Đặt \(4\) làm nhân tử chung, nhận ra được hằng đẳng thức số \(4\):

\(→ 4*(k + 1)^3 = 4*(k+1)^3\) (Vế trái đã bằng vế phải)

Vậy từ đó ta suy ra được đẳng thức đúng với \(N = k + 1\)

\(→ 1^3 + 2^3 + 3^3 + ... + N^3 = (1 + 2 + 3 + .... + N)^2\) (điều phải chứng minh)

Cách giải

Qua phần bên trên, ta suy ra được cách làm ngay.

Đặt \(S = 1 + 2 + 3 + ... + N\) (cái này thì là bài cơ bản rồi)

→ Kết quả sẽ bằng \(S^2\)

CODE

Dễ rồi nên các bạn tự làm nha 😃

Cảm ơn các bạn đã theo dõi phần chứng minh của mình.

Mình xin nhận về bản thân bất kỳ sai sót nào. Từ đó mình sẽ chấn chỉnh bản thân về cách viết \(Editorial\).


Bình luận


  • 0
    phucnguyen2012    10:33 a.m. 25 Tháng 6, 2024 ← đã chỉnh sửa

    Mình thấy editorial lạm dụng số quá nhiều khiến cho bài này phức tạp hơn rất nhiều, thay vào đó mình nghĩ bạn nên sữ dụng chữ giải thích ra thuật toán một cách rõ ràng dễ hiểu nhất. Đặc biệt đối với một số bài rất dễ nhưng dưới tay của các "Editorialer" thì cái hướng dẫn khó hơn rất nhiều, giống như bài này https://lqdoj.edu.vn/problem/num11/editorial, đứa học tiểu học cũng giải đc bài nhưng trong editorial lại sử dụng kiến thức cấp 2.
    Còn bài này thì với người mới học lớp 6 như mình thì nhìn vào cái này thôi cũng khỏi muốn làm rồi, mình mong muốn bạn sẽ sửa đổi cách viết Editorial của mình


    • 0
      dang7rickroll    9:44 a.m. 26 Tháng 6, 2024

      Mình xin phản biện lại một số ý kiến sau:

      • Thứ nhất là về bài mà bạn nói là bài "Bí ẩn số 11":

        • Bạn có vẻ là một Python user (theo các bài nộp của bạn). Đối với mình, Python là một ngôn ngữ mà chấp nhận số lớn (bignum), cho nên việc code những bài như thế rất đơn giản, tuy nhiên mức độ hiệu quả và tốc độ của nó thì chậm hơn rất nhiều.
        • Đối với những ngôn ngữ khác như C++ hoặc Pascal, những ngôn ngữ này không thể lưu trữ được số lớn như Python, nhưng điểm mạnh của nó là tốc độ chạy và hiệu quả của chúng vô cùng nhanh chóng. Vì thế, cần một hướng tiếp cận khác cho bài toán để có thể giải được mà không cần phải sử dụng đến số lớn.
        • Bài toán mà bạn nói thì có giới hạn (\(10^{10^6}\)), một giới hạn rất lớn mà có lẽ chẳng có ngôn ngữ nào có thể kham nổi. Vì vậy việc chỉ sử dụng một câu lệnh if để giải bài toán đó thì sẽ rất chậm (ngay cả Python chắc cũng không làm được). Cho nên cần phải có một hướng tiếp cận khác để việc giải bài toán trở nên hiệu quả hơn.

      • Thứ hai là về bài toán này:

        • Bài toán này giới hạn của \(N\) rất lớn, việc chạy for thì chắc chắn sẽ quá thời gian. Vì thế cần có tư duy toán học trong bài tập này để giải chúng (quy về dãy số cách đều và bình phương tổng dãy số đó). Ngay phần đầu Editorial mình cũng đã lưu ý với mọi người là bài toán này sẽ hơi khó đối với các bạn lớp 7 trở xuống.

      Bài tập trên LQDOJ không phải nhắm cụ thể vào một đối tượng nào đó, mà là hướng đến chung cho tất cả mọi người, vì thế chắc chắn sẽ có đôi bài mà những bạn lớp nhỏ chưa đủ tầm để hiểu thông suốt được. Bạn có thể hỏi những user khác trong LQDOJ, hoặc hỏi trực tiếp tới tác giả của bài hoặc tác giả editorial. Mọi người được khuyến khích làm những bài khó hơn trình độ của mình, vì thế cũng cần phải có sự học hỏi, tiếp thu thêm kiến thức chứ không phải cứ khăng khăng giữ lấy những kiến thức của mình để giải những bài khó. Nếu chỉ cần học vài kiến thức cơ bản mà làm được đề VOI hay IOI thì những trang chia sẻ kiến thức như VNOI wiki chắc đã không tồn tại.

      Ngoài ra, các "editorialer" theo lời mà bạn nói thì họ cũng phải học hỏi, tiếp thu rất nhiều thì mới viết được những cái editorial đó cho bạn xem. Nếu bạn giải được những bài đó bằng vốn kiến thức của mình, thì cứ việc, editorial mục đích là để giúp người dùng biết thêm kiến thức mới, không ai ép các bạn phải xem editorial cả.

      Tóm lại là, bạn phải biết mở rộng, học hỏi và tiếp thu cái mới, nếu không thì bạn cứ mãi dậm chân tại chỗ.

      Chắc là bạn sinh năm 2012 (hơn em mình 1 tuổi), trình độ, kiến thức, kinh nghiệm chưa có nên mình thông cảm cho bạn.


      • 0
        phucnguyen2012    8:10 p.m. 27 Tháng 6, 2024

        chắc là do mình code non quá


        • -5
          Rayokad    11:12 a.m. 26 Tháng 6, 2024

          Bình luận bị ẩn vì nhiều phản hồi tiêu cực. Nhấp vào đây để mở.

        2 bình luận nữa