Chứng minh

Ta sẽ chứng minh tại sao: \(1^3 + 2^3 + 3^3 + ... + N^3 = (1 + 2 + 3 + .... + N)^3\)

(Kiến thức chứng minh này thì sẽ hơi "nặng" đối với các bạn học từ lớp 7 trở xuống vì nó dính tới hằng đẳng thức lớp 8).

Đặt \(T = 1^3 + 2^3 + 3^3 + .... + N^3,\) \(P = (1 + 2 + 3 + ... + K)^2\).

Với \(N = 1, N = 2\), thì hệ thức đúng, vì:

• \(N = 1 → T = 1^3 = 1; P = 1^2 = 1 → T = P\)
• \(N = 2 → T = 1^3 + 2^3 = 9; P = (1 + 2)^3 = 9 → T = P\)

Với \(N > 2\), thì ta đặt \(N = k\), ta chứng minh đẳng thức đúng với \(N = k\) và cũng đúng với \(N = k + 1\)

\(1^3 + 2^3 + 3^3 + .... + k^3 + (k+1)^3 = (1 + 2 + 3 + ... + k + k + 1)^2\) (*)

Mặt khác:

\(0.5T =1 + 2 + 3 + .... + k = 0.5 * (k * (k + 1))\) (dùng công thức tính tổng các số hạng đã học ở lớp \(6\))

\(→T = 0.25 * (k^2 + k)^2\)

Do đó (*)

\(→ (1 + 2 + 3 + ... + k)^2 + (k + 1)^3 = ([(k + 1) - 1] * (k + 1)/2)^2 = (0.25 * (k^2 + k)^2) + (k + 1)^3 = 0,25 * (k^2 + 3k + 2)^2\)

\(↔ (k^2 + 3k + 2)^2 - (k^2 + k)^2 = 4(k + 1)^3\)

Dùng hẳng đẳng thức số \(2\): \(a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)\) khai triển vế trái, ta có:

\(4k^3 + 12k^2 + 12k + 4 = 4(k + 1)^3\)

Đặt \(4\) làm nhân tử chung, nhận ra được hằng đẳng thức số \(4\):

\(→ 4*(k + 1)^3 = 4*(k+1)^3\) (Vế trái đã bằng vế phải)

Vậy từ đó ta suy ra được đẳng thức đúng với \(N = k + 1\)

\(→ 1^3 + 2^3 + 3^3 + ... + N^3 = (1 + 2 + 3 + .... + N)^2\) (điều phải chứng minh)

Cách giải

Qua phần bên trên, ta suy ra được cách làm ngay.

Đặt \(S = 1 + 2 + 3 + ... + N\) (cái này thì là bài cơ bản rồi)

→ Kết quả sẽ bằng \(S^2\)

CODE

Dễ rồi nên các bạn tự làm nha 😃

Cảm ơn các bạn đã theo dõi phần chứng minh của mình.

Mình xin nhận về bản thân bất kỳ sai sót nào. Từ đó mình sẽ chấn chỉnh bản thân về cách viết \(Editorial\).